已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,空間有一點(diǎn)M(不在平面ABCD內(nèi))滿足|MA|+|MB|=10,則三棱錐A-BCM的體積的最大值是( )
A.48
B.36
C.30
D.24
【答案】
分析:由三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積,底面△ABC的面積一定,高最大時(shí),其體積最大;又高由頂點(diǎn)M確定,所以,
當(dāng)平面MAB⊥平面ABCD時(shí),高最大,體積也最大.
解答:解:如圖,由題意知,因?yàn)槿忮FA-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積,
底面△ABC的面積一定,當(dāng)高最大時(shí),體積最大;
當(dāng)平面MAB⊥平面ABCD時(shí),過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB,則MN⊥平面ABCD,
在△MAB中,|MA|+|MB|=10,AB=6,
顯然,當(dāng)|MA|=|MB|=5時(shí),高M(jìn)N最大,并且MN=
=
=4,
所以,三棱錐A-BCM的最大體積為:V
A-BCM=V
M-ABC=
•S
△ABC•MN=
×
×6×6×4=24.
故選D
點(diǎn)評(píng):本題通過(guò)作圖知,側(cè)面與底面垂直時(shí),得出高最大時(shí)體積也最大;其解題的關(guān)鍵是正確作圖,得高何時(shí)最大.