Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2AD，AD⊥AB，將△ADC沿AC這起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC．

（Ⅰ）求證：BC⊥AD；
（Ⅱ）點(diǎn)M是線段DB上的一點(diǎn)，當(dāng)二面角M-AC-D的大小為時

π

3

時，求

DM

NB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)折疊問題，通過面面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面垂直，通過相關(guān)的運(yùn)算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化出線線垂直．
（Ⅱ）首先建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)一步求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出平面的法向量，設(shè)

DM

=λ

DB

，進(jìn)一步根據(jù)二面角cos

π

3

=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

，求得λ的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面ACD⊥平面ABC=AC
∴在直角梯形ABCD中，AB=2CD=2AD，AD⊥AB
求得：BC⊥AC
∴BC⊥平面ACD
AD?平面ACD
∴BC⊥AD
（Ⅱ）分別取AC、AB的中點(diǎn)O、E，分別以O(shè)A、OE、OD為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=

2

則：A（1，0，0），C（-1，0，0），D（0，O，1），B（-1，2，0）
設(shè)

DM

=λ

DB

，M（x，y，z）則：x=-λ，y=2λ，z=1-λ
所以：

AC

=（-2，0，0），

AM

=（-λ-1，2λ，1-λ）
設(shè)平面AMC的法向量

n1

=(x，y，z)
則有：

n1 • AC =0 n1 • AM =0

得到：

-2x=0 -(λ+1)x+2λy+(1-λ)z=0

令z=2λ
則：x=0，y=λ-1
又平面ADC的法向量

n2

=(0，1，0)
由題意可知：當(dāng)二面角M-AC-D的大小為

π

3

時，
cos

π

3

=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

解得：

λ-1

(λ-1)2+(2λ)2

=

1

2

λ=2

3

-3
即

DM

=(2

3

-3)

DB

所以：

DM

MB

=

3

2

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：面面垂直與線面垂直和線線垂直之間的轉(zhuǎn)化及相關(guān)運(yùn)算，法向量的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系的建立技巧，向量共線的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用．