Question

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合．設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：

x=t y=2+2t

（參數(shù)t∈R）與曲線C的極坐標(biāo)方程為 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直線l與曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，證明：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程用代入法消去t得普通方程，曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=2x+2 x2=2y

  消去y得  x²-4x-4=0，求出x₁•x₂和y₁y₂的值，代入 

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂進(jìn)行運(yùn)算．

解答：解：（Ⅰ）由直線l的參數(shù)方程消去t得普通方程為 y=2x+2．
由曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ得曲線C的普通方程為  x²=2y．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=2x+2 x2=2y

  消去y得  x²-4x-4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=-4，∴y₁y₂=

x 2 1

2

•

x 2 2

2

=4，∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得x₁•x₂ 和y₁y₂ 的值，是解題的難點(diǎn)．