Question

3．如圖，設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）
（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長（用a，k表示）
（Ⅱ）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓方程，利用弦長公式求解即可．
（Ⅱ）寫出圓的方程，假設(shè)圓A與橢圓有4個公共點，再利用對稱性有解已知條件可得任意一A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，a的取值范圍，進而可得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：（1+a²k²）x²+2ka²x=0，
得x₁=0或x₂=$\frac{-2k{a}^{2}}{1+{k}^{2}{a}^{2}}$，
直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長為：$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2{a}^{2}|k|}{1+{a}^{2}{k}^{2}}\sqrt{1+{k}^{2}}$．
（Ⅱ）假設(shè)圓A與橢圓有4個公共點，由對稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|=|AQ|，
記直線AP，AQ的斜率分別為：k₁，k₂；且k₁，k₂＞0，k₁≠k₂，由（1）可知|AP|=$\frac{2{a}^{2}|{k}_{1}|\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}{1+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}$，
|AQ|=$\frac{2{a}^{2}|{k}_{2}|\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}{1+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}}$，
故：$\frac{2{a}^{2}|{k}_{1}|\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}{1+{a}^{2}{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}|{k}_{2}|\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}{1+{a}^{2}{{k}_{2}}^{2}}$，
所以，（k₁²-k₂²）[1+k₁²+k₂²+a²（2-a²）k₁²k₂²]=0，由k₁≠k₂，
k₁，k₂＞0，可得：1+k₁²+k₂²+a²（2-a²）k₁²k₂²=0，
因此$（\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}+1）（\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}+1）=1+$a²（a²-2）①，
因為①式關(guān)于k₁，k₂的方程有解的充要條件是：1+a²（a²-2）＞1，
所以a＞$\sqrt{2}$．
因此，任意點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點的充要條件為：1＜a≤$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$得，所求離心率的取值范圍是：$0＜e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．