Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求通項公式a_n；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n-n-2|}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出首項，利用數(shù)列的遞推關(guān)系證明數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，即可求通項公式a_n；
（Ⅱ）討論n的取值，利用分組法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和等差數(shù)列即可求數(shù)列{|a_n-n-2|}的前n項和．

解答 解：（Ⅰ）∵S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
∴a₁+a₂=4，a₂=2S₁+1=2a₁+1，
解得a₁=1，a₂=3，
當(dāng)n≥2時，a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即a_n+1=3a_n，當(dāng)n=1時，a₁=1，a₂=3，
滿足a_n+1=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，則數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，
則通項公式a_n=3^n-1．
（Ⅱ）a_n-n-2=3^n-1-n-2，
設(shè)b_n=|a_n-n-2|=|3^n-1-n-2|，
則b₁=|3⁰-1-2|=2，b₂=|3-2-2|=1，
當(dāng)n≥3時，3^n-1-n-2＞0，
則b_n=|a_n-n-2|=3^n-1-n-2，
此時數(shù)列{|a_n-n-2|}的前n項和T_n=3+$\frac{9（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-$\frac{（5+n+2）（n-2）}{2}$=$\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}$，

則T_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{3，}&{n=2}\\{\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}，}&{n≥3}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{\frac{{3}^{n}-{n}^{2}-5n+11}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)條件建立方程組以及利用方程組法證明列{a_n}是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．求出過程中使用了轉(zhuǎn)化法和分組法進(jìn)行數(shù)列求和．