Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0），一直線2x+y+1=0與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB中點為M，若k_OM=$\frac{1}{4}$（O為坐標(biāo)原點），
（1）求此橢圓的離心率；
（2）若橢圓的右焦點關(guān)于直線x=1的對稱點在圓：x²+y²=9上，求此橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)而不求的思想，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中點坐標(biāo)，求出M的坐標(biāo)，k_OM=$\frac{1}{4}$；直線2x+y+1=0與橢圓相交于A、B兩點，聯(lián)立方程組，找到a，b的關(guān)系，即可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)橢圓的右焦點坐標(biāo)（-c，0），關(guān)于直線x=1的對稱點為（2-c，0）在圓上，求解c的值，結(jié)合（1）的a，b的關(guān)系，可求此橢圓的方程．

解答 解：（1）由題意：直線2x+y+1=0與橢圓相交于A、B兩點，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）帶入橢圓方程化解可得：$-\frac{b^2}{a^2}\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵${k_{OM}}=\frac{1}{4}（O為坐標(biāo)原點）$，
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=4$，
又∵k=-2  所以$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，所以e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（2）∵橢圓的右焦點（c，0）關(guān)于直線x=1為（2-c，0）在圓x²+y²=9上，
則有：（2-c）²=9，
解得：c=5，
由（1）可知：e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$a=5\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=5，
故得橢圓方程為$\frac{x^2}{50}+\frac{y^2}{25}=1$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)的運用，設(shè)而不求的思想，斜率的關(guān)系以及中點坐標(biāo)的運用．對稱關(guān)系的求法．比較綜合，計算量大，屬于中檔題．