【題目】若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且1≤f(﹣1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(﹣2)的范圍.
【答案】解:因?yàn)閥=f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),所以可設(shè)y=f(x)=ax2+bx.于是
∴ (I)
解法一(利用基本不等式的性質(zhì))
不等式組(Ⅰ)變形得
∴6≤4a﹣2b≤10,∴6≤f(﹣2)≤10,
所以f(﹣2)的取值范圍是[6,10].
解法二(數(shù)形結(jié)合)
建立直角坐標(biāo)系aob,作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域,如圖中的陰影部分.
因?yàn)閒(﹣2)=4a﹣2b,
所以4a﹣2b﹣f(﹣2)=0表示斜率為2的直線系.
如圖,當(dāng)直線4a﹣2b﹣f(﹣2)=0過點(diǎn)A(2,1),B(3,1)時(shí),
分別取得f(﹣2)的最小值6,最大值10.
即f(﹣2)的取值范圍是:6≤f(﹣2)≤10.
解法三(利用方程的思想)
∵ ,∴
又f(﹣2)=4a﹣2b=3f(﹣1)+f(1),而
1≤f(﹣1)≤2,3≤f(1)≤4,①
所以3≤3f(﹣1)≤6.②
①+②得4≤3f(﹣1)+f(1)≤10,即6≤f(﹣2)≤10.
【解析】法一,先根據(jù)要求設(shè)出二次函數(shù),可以利用基本不等式性質(zhì)變形找出f(2)解決;法二,用數(shù)形結(jié)合思想,利用線性規(guī)劃的方法求解;法三,利用方程思想反解a、b,利用f(﹣1)、f(1)來表示f(2)進(jìn)而求解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.
(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.
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【題目】已知向量 =(sinA,cosA), =(cosB,sinB), =sin2C且A、B、C分別為△ABC的三邊a,b,c所對的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sinA,sinC,sinB成等比數(shù)列,且 =18,求c的值..
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若 ,求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程;
(2)若 在 處取得極小值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知p:函數(shù)f(x)=lg(ax2﹣x+ a)的定義域?yàn)镽;q:a≥1.如果命題“p∨q為真,p∧q為假”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知四棱錐P﹣ABCD及其三視圖如下圖所示,E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn).
(Ⅰ)求四棱錐P﹣ABCD的體積;
(Ⅱ)不論點(diǎn)E在何位置,是否都有BD⊥AE?試證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D﹣AE﹣B的大。
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【題目】某早餐店每天制作甲、乙兩種口味的糕點(diǎn)共n(nN*)份,每份糕點(diǎn)的成本1元,售價(jià)2元,如果當(dāng)天賣不完,剩下的糕點(diǎn)作廢品處理.該早餐店發(fā)現(xiàn)這兩種糕點(diǎn)每天都有剩余,為此整理了過往100天這兩種糕點(diǎn)的日銷量(單位:份),得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
甲口味糕點(diǎn)日銷量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
天數(shù) | 20 | 40 | 20 | 20 |
乙口味糕點(diǎn)日銷量 | 48 | 49 | 50 | 51 |
天數(shù) | 40 | 30 | 20 | 10 |
以這100天記錄的各銷量的頻率作為各銷量的概率,假設(shè)這兩種糕點(diǎn)的日銷量相互獨(dú)立.
(1)記該店這兩種糕點(diǎn)每日的總銷量為X份,求X的分布列
(2)早餐店為了減少浪費(fèi),提升利潤,決定調(diào)整每天制作糕點(diǎn)的份數(shù)
①若產(chǎn)生浪費(fèi)的概率不超過0.6,求n的最大值;
②以銷售這兩種糕點(diǎn)的日總利潤的期望值為決策依據(jù),在每天所制糕點(diǎn)能全部賣完與n=98之中選其一,應(yīng)選哪個(gè)?
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【題目】已知橢圓: 的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線: 與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn),直線平行于,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且與直線交于點(diǎn),證明:存在常數(shù),使得,并求的值.
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【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,CB=CD,AD=DB,P,Q分別在線段AB,AC上,AP=3PB,AQ=2QC,M是BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:DQ∥平面CPM;
(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D的大小為 ,求∠BDC的正切值.
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