Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項為2，公差為1，符號[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，記b_n=[log₃（a_n-1）]，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求S3n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列的通項公式和題意即可得出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n+1可得b_n=[log₃n]，當3^k≤n＜3^k+1時，[log₃n]=k，k∈N，先表示出S3n，利用等比數(shù)列的前n項和公式與“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）因為等差數(shù)列{a_n}的首項為2，公差為1，
所以a_n=2+（n-1）×1=n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=[log₃（a_n-1）]=[log₃n]，
當3^k≤n＜3^k+1時，[log₃n]=k，k∈N，
所以S3n=[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]]+…+[[log₃8]+]+[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃3ⁿ]
=0+0+1×6+2×18+3×54+…+（n-1）×2•3^n-1+n
=0+0+1×2×3+2×2×3²+3×2×3³+…+（n-1）×2•3^n-1+n，
設s=1×2×3+2×2×3²+3×2×3³+…+（n-1）×2•3^n-1，①
3s=1×2×3²+2×2×3³+3×2×3⁴+…+（n-1）×2•3ⁿ，②
①-②得，-2s=6+2（3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（n-1）×2•3ⁿ
=6+2×

9(1-3n-2)

1-3

-（n-1）×2•3ⁿ=-3+（-2n+3）•3ⁿ
則s=

1

2

[3+(2n-3)•3n]，
所以S3n=

1

2

[3+(2n-3)•3n]+n．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式，錯位相減法求數(shù)列的前n項和，新定義，對數(shù)性質(zhì)，考查了猜想歸納、分析問題和解決問題的能力，考差了推理能力和計算能力，屬于難題．