Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，AC₁=5，∠BAD=∠BAA₁=60°，求∠DAA₁的大�。�

Answer 1

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：計算題,作圖題,解三角形

分析：由題意，連結(jié)BD、AC交于點O，連結(jié)A₁O，A₁B、A₁D；求∠DAA₁的大小要先求DA₁的大小，通過余弦定理解出DA₁的大小，再出角即可．

解答： 解：如圖，連結(jié)BD、AC交于點O，連結(jié)A₁O，A₁B、A₁D；
在△ABA₁中，
AB=1，AA₁=3，∠BAA₁=60°；
故BA₁=

12+32-2×1×3× 1 2

=

7

，
在△ABD中，
AB=1，AD=2，∠BAD=60°；
故BD=

1+4-2×1×2× 1 2

=

3

，
在△ABC中，
AB=1，BC=AD=2，∠CBA=120°；
故AC=

1+4-2×1×2×(- 1 2 )

=

7

，
則AO=

AC

2

=

7

2

，
在△ACC₁中，
AC=

7

，CC₁=AA₁=3，AC₁=5；
故cos∠ACC₁=

AC2+CC12-AC12

2•AC•CC1

=

7+9-25

2× 7 ×3

=-

3

2 7

，
則cos∠CAA₁=

3

2 7

，
則在△AOA₁中，
AA₁=3，AO=

7

2

，cos∠CAA₁=

3

2 7

，
則OA₁=

9+ 7 4 -2×3× 7 2 × 3 2 7

=

5

2

，
在△BOA₁中，
BA₁=

7

，BO=

3

2

，OA₁=

5

2

，
則OA₁=

9+ 7 4 -2×3× 7 2 × 3 2 7

=

5

2

，
cos∠BOA₁=

3 4 + 25 4 -7

2• 3 2 • 5 2

=0，
則∠BOA₁=90°，
則A₁D=

7

，
則在△ADA₁中，
AD=2，AA₁=3，DA₁=

7

，
則cos∠DAA₁=

4+9-7

2×2×3

=

1

2

，
故∠DAA₁=60°．

點評：本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，同時考查了學生的作圖能力，余弦定理的應用比較復雜，屬于難題．