Question

13．關(guān)于函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）有下列命題：
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②點（$\frac{π}{8}$，0）是y=f（x）的圖象的一個對稱中心；
③y=f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$）上單調(diào)遞減；
④將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{24}$個單位后，將與已知函數(shù)f（x）的圖象重合．
其中正確命題的序號是①③．（把你認為正確的命題的序號都填上）

Answer 1

分析 根據(jù)誘導公式、兩角和的正弦公式化簡解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分別判斷出①、②、③；再利用圖象平移法則判斷出④．

解答 解：∵（2x+$\frac{π}{6}$）-（2x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{2}$，
∴（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{π}{2}$+（2x+$\frac{π}{6}$），
則cos（2x-$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，①正確；
②當x=$\frac{π}{8}$時，2x+$\frac{5π}{12}$=$\frac{2π}{3}$≠kπ（k∈Z），②不正確；
③當x∈（$\frac{π}{24}，\frac{13π}{24}$）時，$2x+\frac{5π}{12}$∈（$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$），③正確；
④函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向左平移$\frac{π}{24}$個單位后，得到函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{12}$），④不正確，
∴正確的命題是①③，
故答案為：①③．

點評 本題考查誘導公式、兩角和的正弦公式，圖象平移法則，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題．