Question

18．已知（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．設(shè)（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．求：
（1）n的值；    
（2）a₅的值；
（3）a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)可得1+${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=2×${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$，求得n的值．
（2）在（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于5，求得r的值，可得a₅的值．
（3）在等式（x+$\frac{1}{2}$）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nx⁸ 的兩邊，取x=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈ 的值．

解答 解：（1）由題設(shè)可得（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，∴1+${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=2×${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$，
求得 n²-9n+8=0，解得n=8，或n=1（舍）．
（2）（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{1}{2}）}^{r}$，令8-r=5，求得r=3，所以a₅=7．
（3）在等式（x+$\frac{1}{2}$）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nx⁸ 的兩邊，取x=-1，
可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈=$\frac{1}{256}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．