Question

已知函數(shù)f（x）=2x-e^2x+2，函數(shù)g（x）=ln（mx+1）+

1-x

1+x

，其中x≥0，m＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于任意的x≥0，若恒有g(shù)（x）≥f（x）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)在定義域上各個(gè)區(qū)間上的符號，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于任意的x≥0，若恒有g(shù)（x）≥f（x）成立，則由f（x）最大值為1可得：g（x）≥1對于任意的x≥0恒成立，分m≥2時(shí)和0＜m＜2時(shí)，兩種情況討論，最后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2x-e^2x+2，
∴f′（x）=2-2e^2x，
在（-∞，0）上，f′（x）＞0，故函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，0）．
在（0，∞）上，f′（x）＜0，故函數(shù)的減區(qū)間為（0，+∞）．
（2）由（1）得，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=2x-e^2x+2取最大值1，
若對于任意的x≥0，恒有g(shù)（x）≥f（x）成立，
則g（x）≥1對于任意的x≥0恒成立，
∵g′（x）=

m

mx+1

+

-2

(1+x)2

=

mx2+m-2

(mx+1)(1+x)2

，
∵x≥0，m＞0．
∴mx+1＞0，
①當(dāng)m≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上，g′（x）＞0，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），則當(dāng)x=0時(shí)，g（x）取最小值1，滿足條件；
②當(dāng)0＜m＜2時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞

2-m m

，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜

2-m m

，
故當(dāng)x=

2-m m

時(shí)，函數(shù)取最小值，此時(shí)f（

2-m m

）＜f（0）=1，不滿足條件，
綜上所述：m的取值范圍為[2，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)恒成立問題，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度較大．