Question

已知橢圓

x2

12

+

y2

4

=1及點(diǎn)M(-

3

2

，-

1

2

)，過點(diǎn)M作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）若M是弦PQ的中點(diǎn)，求直線PQ的方程；
（2）求證：以線段PQ為直徑的圓恒過橢圓上一定點(diǎn)A，并求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線PQ的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合M是弦PQ的中點(diǎn)，即可求得結(jié)論；
（2）A在以PQ為直徑的園上，則AP⊥AQ，于是向量的數(shù)量積

AP

?

AQ

=0，由此化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)過M的直線的方程為y=k（x+

3

2

）-

1

2

=kx+

3k-1

2

代入橢圓方程得：x²+3（kx+

3k-1

2

）²=12；展開化簡(jiǎn)得：
（1+3k²）x²+3k（3k-1）x+

27k2-18k-45

4

=0
即有（1+3k²）x²+3k（3k-1）x+

9(3k-5)(k+1)

4

=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

3k(3k-1)

1+3k2

∵M(-

3

2

，-

1

2

)是弦PQ的中點(diǎn)，
∴-

3k(3k-1)

1+3k2

=-3
∴k=-1
∴直線PQ的方程為y=-x-2，即x+y+2=0；
（2）證明：設(shè)A（m，n），A在橢圓上，其坐標(biāo)滿足橢圓方程，即

m2

12

+

n2

4

=1…（1）
如果A在以PQ為直徑的園上，則AP⊥AQ，于是向量的數(shù)量積

AP

?

AQ

=0；
即

AP

?

AQ

=（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=

9(3k-5)(k+1)

4(1+3k2)

+

3mk(3k-1)

1+3k2

+m²+

-39k2-6k+1

4(1+3k2)

-

n(3k-1)

1+3k2

+n²=0
去分母得9（3k-5）（k+1）+12mk（3k-1）+4m²（1+3k²）+（-39k²-6k+1）-4n（3k-1）+4n²（1+3k²）=0
化簡(jiǎn)整理得（12m²+36m+12n²-12）k²-（12m+12n+24）k+4m²+4n²+4n-44=0
12（m²+3m+n²-1）k²-12（m+n+2）k+4（m²+n²+n-11）=0…（2）
令m²+3m+n²-1=0…（3）
m+n+2=0…（4）
m²+n²+n-11=0…（5）
（3）-（5）得3m-n+10=0…（6）
（4）+（6）得4m+12=0，故得m=-3；代入（5）式得n=1；
由此可見，當(dāng)m=-3，n=1時(shí)，（2）是恒等式；而（-3，1）滿足方程（1），即（-3，1）在橢圓上．
這就證明了無論直線的k為何值，以弦PQ為直徑的圓一定過橢圓上的定點(diǎn)A（-3，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查恒過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．