【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,且外接圓的周長為.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點(diǎn),設(shè)不垂直于軸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,若,證明直線過定點(diǎn)并寫出定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)(2)證明見解析,恒過定點(diǎn)
【解析】
(1)先求出的外接圓的半徑長,再利用拋物線的定義可求出的值,從而得出拋物線的方程;
(2)設(shè)的方程為,,,聯(lián)立直線與拋物線方程,列出韋達(dá)定理,等價(jià)于即可得到、的關(guān)系,即可得到直線恒過定點(diǎn).
解:(1)因?yàn)?/span>的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,
所以的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑,
因?yàn)橥饨訄A的周長為,所以圓的半徑為3,
又圓心在的垂直平分線上,,
,解得:,
所以拋物線的方程為.
(2)設(shè)的方程為,,,
由得,,則.
所以,,
因?yàn)?/span>,所以,
即,化簡得,
所以,所以,
所以的方程為,恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地因受天氣,春季禁漁等因素影響,政府規(guī)定每年的7月1日以后的100天為當(dāng)年的捕魚期.某漁業(yè)捕撈隊(duì)對(duì)噸位為的20艘捕魚船一天的捕魚量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),如下表所示:
捕魚量(單位:噸) | |||||
頻數(shù) | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
根據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)近20年此地每年100天的捕魚期內(nèi)的晴好天氣情況如下表(捕魚期內(nèi)的每個(gè)晴好天氣漁船方可捕魚,非晴好天氣不捕魚):
晴好天氣(單位:天) | |||||
頻數(shù) | 2 | 7 | 6 | 3 | 2 |
(同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作代表)
(Ⅰ)估計(jì)漁業(yè)捕撈隊(duì)噸位為的漁船單次出海的捕魚量的平均數(shù);
(Ⅱ)已知當(dāng)?shù)佤~價(jià)為2萬元/噸,此種捕魚船在捕魚期內(nèi)捕魚時(shí),每天成本為10萬元/艘,若不捕魚,每天成本為2萬元/艘,若以(Ⅰ)中確定的作為上述噸位的捕魚船在晴好天氣捕魚時(shí)一天的捕魚量.
①請(qǐng)依據(jù)往年天氣統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),試估計(jì)一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的概率;
②設(shè)今后3年中,此種捕魚船每年捕魚情況一樣,記一艘此種捕魚船年利潤不少于1600萬元的年數(shù)為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】惠州市某學(xué)校需要從甲、乙兩名學(xué)生中選1人參加數(shù)學(xué)競賽,抽取了近期兩人5次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
甲 | 80 | 85 | 71 | 92 | 87 |
乙 | 90 | 76 | 75 | 92 | 82 |
(1)若從甲、乙兩人中選出1人參加數(shù)學(xué)競賽,你認(rèn)為選誰合適?請(qǐng)說明理由.
(2)若數(shù)學(xué)競賽分初賽和復(fù)賽,在初賽中答題方案如下:
每人從5道備選題中隨機(jī)抽取3道作答,若至少答對(duì)其中2道,則可參加復(fù)賽,否則被淘汰.假設(shè)被選中參賽的學(xué)生只會(huì)5道備選題中的3道,求該學(xué)生能進(jìn)人復(fù)賽的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面是平行四邊形,,平面平面,且分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中正確的是( )
A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示
B.若為空間向量的一組基底,則構(gòu)成空間向量的另一組基底
C.為直角三角形的充要條件是
D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是直角梯形,,,,M是棱PC上一點(diǎn),且,平面MBD.
(1)求實(shí)數(shù)λ的值;
(2)若平面平面ABCD,為等邊三角形,且三棱錐P-MBD的體積為2,求PA的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下5條表述中,橫線上填A代表“充分非必要條件”,填B代表“必要非充分條件”,填C代表“充要條件”,填D代表“既非充分也非必要條件”,請(qǐng)將相應(yīng)的字母填入下列橫線上.
(1)若,則“是與的等比中項(xiàng)”是“”的_______.
(2)“數(shù)列為常數(shù)列”是“數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”的_______.
(3)若是等比數(shù)列,則“”是“為遞減數(shù)列”的_______.
(4)若是公比為的等比數(shù)列,則“”是“是遞減數(shù)列”的_______.
(5)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“數(shù)列為遞增數(shù)列”是“數(shù)列的各項(xiàng)均為大于零”的_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“科技引領(lǐng),布局未來”科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年,某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100億元,我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比.這12年間的研發(fā)投入(單位:十億元)用圖中的條形圖表示,研發(fā)投入占營收比用圖中的折線圖表示.
根據(jù)折線圖和條形圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A. 2012﹣2013 年研發(fā)投入占營收比增量相比 2017﹣2018 年增量大
B. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入逐年增加
C. 2015﹣2016 年研發(fā)投入增值最大
D. 該企業(yè)連續(xù) 12 年研發(fā)投入占營收比逐年增加
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:;
(2)用表示中的最大值,記,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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