【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(1)求函數(shù)在上的最小值;
(2)函數(shù),若在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點,求a的取值范圍;
(3)記的兩個極值點分別為,且.已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.注:為自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)計算,判斷在的符號,可得的單調(diào)性,可得結(jié)果.
(2)計算,采用等價轉(zhuǎn)化思想,有兩個不同的實數(shù)根,然后分離參數(shù),并構(gòu)建新的函數(shù),判斷新函數(shù)的單調(diào)性,求得極值,最后與比較大小,可得結(jié)果.
(3)通過兩邊取對數(shù)以及,化簡式子, 可得,利用換元法并構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),可得結(jié)果
(1)由題可知:
當(dāng),
所以在區(qū)間單調(diào)遞增,
所以,
(2),定義域為
則,
由在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點
則在有兩個不同的實數(shù)根
等價于在有兩個不同的實數(shù)根
等價于函數(shù)圖象在有兩個交點
則
令,則
令,則
所以在遞增,在遞減
則有極大值為,
當(dāng)時,遞增,且
所以當(dāng)時,
所以
(3)由(2)可知:
由兩個極值點分別為
所以
所以
則
由,所以兩邊取對數(shù)可知:
,所以
則,所以
由
所以
令
所以,則
若不等式恒成立
等價于,恒成立
令,
則
當(dāng),即,可得
所以在單調(diào)遞增,又
所以當(dāng)時,恒成立
當(dāng),即時,
若,
若,
所以在遞增,在遞減
又,所以當(dāng)時,不恒成立
綜上所述:
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)已知函數(shù) .
(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在 上為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)設(shè)m,n為正實數(shù),且m>n,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域,并證明在定義域上是奇函數(shù);
(Ⅱ)若 恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)時,試比較與的大小關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)若,求曲線的直角坐標(biāo)方程以及直線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點,曲線與直線交于兩點,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“”的否定是“”
B.命題“已知,若則或”是真命題
C.命題“若則函數(shù)只有一個零點”的逆命題為真命題
D.“在上恒成立”在上恒成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體中,垂直于梯形所在的平面,為的中點,,四邊形為矩形,線段交于點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)在線段上是否存在一點,使得與平面所成角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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