【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）由底面為菱形，得，再由底面，可得，結(jié)合線面垂直的判定可得平面；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）證明：底面為菱形，，

底面，平面，

又，平面，

平面；

（2）解：，，為等邊三角形，

.

底面，是直線與平面所成的角為，

在中，由，解得.

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線及過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸

建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，.

，，，.

設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，.

由，取，得；

由，取，得.

.

平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）函數(shù)，若在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）記的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)某產(chǎn)品1至6月份銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，其售價(jià)x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份i

1

2

3

4

5

6

單價(jià)（元）

9

9.5

10

10.5

11

8

銷售量（件）

11

10

8

6

5

14

（1）根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.5元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問(wèn)所得回歸直線方程是否理想？

（3）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷售量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是2.5元/件，為獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（利潤(rùn)=銷售收入-成本）.

參考公式：回歸方程，其中.

參考數(shù)據(jù)：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C:（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（－，0）、F2（，0）.點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（m≠3）.過(guò)點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，試求m，n滿足的關(guān)系式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一間宿舍內(nèi)住有甲乙兩人，為了保持宿舍內(nèi)的干凈整潔，他們每天通過(guò)小游戲的方式選出一人值日打掃衛(wèi)生，游戲規(guī)則如下：第1天由甲值日，隨后每天由前一天值日的人拋擲兩枚正方體骰子(點(diǎn)數(shù)為)，若得到兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于10，則前一天值日的人繼續(xù)值日，否則當(dāng)天換另一人值日.從第2天開(kāi)始，設(shè)“當(dāng)天值日的人與前一天相同”為事件.

（1）求.

（2）設(shè)表示“第天甲值日”的概率，則，其中，.

（ⅰ）求關(guān)于的表達(dá)式.

（ⅱ）這種游戲規(guī)則公平嗎？說(shuō)明理由.

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【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，橢圓的上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為2，證明：過(guò)定點(diǎn).

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【題目】在疫情防控過(guò)程中，某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下，第15天開(kāi)始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開(kāi)始，每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍，那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_______________，第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球. 規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球

（Ⅰ）求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；

（Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；

（Ⅲ）設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.

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