【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)且時(shí)，求證：.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）求得，然后分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）將所證不等式變形為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由可證得結(jié)論.

（1）由題意，得.

①若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②若，令，得；令，得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③若，則是常值函數(shù)，不存在單調(diào)性.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，，則即為.

不等式兩邊同時(shí)除以，得，得.

記函數(shù)，則.

設(shè).

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，.

所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以，即.

故得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，國資委.黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表所示：

土地使用面積（單位：畝）

1

2

3

4

5

管理時(shí)間（單位：月）

8

10

13

25

24

并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:

愿意參與管理

不愿意參與管理

男性村民

150

50

女性村民

50

（1）求出相關(guān)系數(shù)的大小，并判斷管理時(shí)間與土地使用面積是否線性相關(guān)？

（2）是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？

（3）若以該村的村民的性別與參與管理意愿的情況估計(jì)貧困縣的情況，則從該貧困縣中任取3人，記取到不愿意參與管理的男性村民的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考公式：

其中。臨界值表：

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】獨(dú)立性檢驗(yàn)中,假設(shè):運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動沒有關(guān)系.在上述假設(shè)成立的情況下,計(jì)算得的觀測值.下列結(jié)論正確的是（ ）

附：

0．10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

A. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動有關(guān)

B. 在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動無關(guān)

C. 在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動有關(guān)

D. 在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為運(yùn)動員受傷與不做熱身運(yùn)動無關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離的最大值為，求的值；

（2）若曲線上任意一點(diǎn)都滿足，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根， ，證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國，下面是組委會在選拔賽時(shí)隨機(jī)抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示.

題號

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

0.100

第2組

①

第3組

20

②

第4組

20

0.200

第5組

10

0.100

第6組

100

1.00

（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成如下的頻率分布直方圖；

（2）組委會決定在5名（其中第3組2名，第4組2名，第5組1名）選手中隨機(jī)抽取2名選接受考官進(jìn)行面試，求第4組至少有1名選手被考官面試的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）如果且關(guān)于的方程有兩解， （），證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是

A. 的一個(gè)周期為 B.

C. 是圖象的一條對稱軸 D. 是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對方格表中的小方格進(jìn)行染色．使得每個(gè)被染色的小方格滿足：與其相鄰的小方格中最多只有一個(gè)被染色，其中兩個(gè)小方格相鄰是指它們有一條公共邊．問：最多可以給多少個(gè)小方格染色?

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同步練習(xí)冊答案