Question

10．設(shè)雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為e，則斜率為k的直線與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是（　　）

• A． k²-e²＞1
• B． k²-e²＜1
• C． e²-k²＞1
• D． e²-k²＜1

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，可設(shè)為x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
b²-a²k²=c²-a²-a²k²=a²e²-a²-a²k²=a²（e²-1-k²）＞0，
e²-1-k²＞0，
即e²-k²＞1．
反之當(dāng)e²-k²＞1時，直線l與雙曲線C的左右兩支都相交，
故直線l與雙曲線C的左右兩支都相交的充要條件是e²-k²＞1，
故選：C．

點評 本題考查必要條件、充分條件、充要條件的判斷和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的靈活運用．