Question

2．已知f（x）=x+xlnx，若k（x-2）＜f（x）對任意x＞2恒成立，則整數(shù)k的最大值是（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{f（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$；令F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；求出F（x）的最小值，從而求出k的最大值即可．

解答 解：∵x＞2，
∴k（x-2）＜f（x）可化為k＜$\frac{f（x）}{x-2}$=$\frac{x+xlnx}{x-2}$；
令F（x）=$\frac{x+xlnx}{x-2}$，
則F′（x）=$\frac{x-2lnx-4}{{（x-2）}^{2}}$；
令g（x）=x-2lnx-4，則g′（x）=1-$\frac{2}{x}$＞0，
故g（x）在（2，+∞）上是增函數(shù)，
且g（8）=8-2ln8-4=2（2-ln8）＜0，g（9）=9-2ln9-4=5-2ln9＞0；
故存在x₀∈（8，9），使g（x₀）=0，即2lnx₀=x₀-4；
故F（x）在（2，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)；
故F_min（x）=F（x₀）=$\frac{{x}_{0}{+x}_{0}•\frac{{x}_{0}-4}{2}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$；
故k＜$\frac{{x}_{0}}{2}$；
故k的最大值是4；
故選：D．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)零點判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．