Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²-2n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3-b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

1

12

a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁=2-2=0，求出a_n=4n-4．由T_n=3-b_n，n≥2時(shí)，T_n-1=3-b_n-1．
兩式相減，求出b_n=3•(

1

2

)n．
（2）c_n=

1

12

a_n•b_n=（n-1）•(

1

2

)n，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n²-2n，
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n²-2n）-[2（n-1）²-2（n-1）]=4n-4，
a₁=S₁=2-2=0符合上式，
∴a_n=4n-4．
∵{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3-b_n，∴n≥2時(shí)，T_n-1=3-b_n-1．
兩式相減，得b_n=b_n-1-b_n，
∴

bn

bn-1

=

1

2

，n≥2，
又b₁=T₁=3-b₁，解得b1=

3

2

，
∴b_n=

3

2

×(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n．
（2）∵c_n=

1

12

a_n•b_n=（n-1）•(

1

2

)n，
∴R_n=1×(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n，①

1

2

Rn=1×(

1

2

)3+2×(

1

2

)4+…+(n-1)×(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

Rn-（n-1）×(

1

2

)n+1
=

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n-1）×(

1

2

)n+1
=

1

2

-(

1

2

)n-（n-1）×(

1

2

)n+1，
∴R_n=1-（

1

2

）^n-1-（n-1）•（

1

2

）ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．