Question

下列函數(shù)中，滿足“?x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0”的是（　　）

• A．f（x）=lg（2x+1）
• B．f（x）=x+cosx
• C．f（x）=x²-

  1

  x

• D．f（x）=-x³-3x²

Answer 1

分析：由已知得所求函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，逐個(gè)驗(yàn)證：A在（0，+∞）上為增函數(shù)；B在（0，+∞）上單調(diào)遞增；C在（0，+∞）上為增函數(shù)；D在在（0，+∞）上為減函數(shù)，可得答案．

解答：解：由題意可得函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
選項(xiàng)A為常用對(duì)數(shù)函數(shù)形式，為增函數(shù)，故不合題意；
選項(xiàng)B，f（x）=x+cosx，由于f'（x）=1-sinx≥0，故函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞增，不合題意；
選項(xiàng)C，由f′（x）=2x+

1

x2

＞0可知函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
選項(xiàng)D，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=-x³-3x²，由于f'（x）=-3x²-6x=-3x（x+2）＜0，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故合題意，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，借用常用函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的捷徑，屬基礎(chǔ)題．