Question

16．如圖，D、E分別是△ABC的三等分點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{n}$，∠BAC=$\frac{π}{3}$．
（1）用$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$分別表示$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$；
（2）若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=15，|$\overrightarrow{BC}$|=3$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用向量的線性運(yùn)算，即可用$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$分別表示$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$；
（2）若$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=15，|$\overrightarrow{BC}$|=3$\sqrt{3}$，求出|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{9}{\frac{1}{2}}$=18，即可求△ABC的面積．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DB}$=2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EC}$=-$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$；
（2）$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=15，|$\overrightarrow{BC}$|=3|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=3$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，∴$|\overrightarrow{m}{|}^{2}+|\overrightarrow{n}{|}^{2}$=33，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=（2$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•（-$\overrightarrow{m}$+2$\overrightarrow{n}$）=9，
∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=$\frac{9}{\frac{1}{2}}$=18，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×18×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的運(yùn)算，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．