Question

4．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點向圓x²+y²=a²作一條切線，若該切線與雙曲線的兩條漸進線分別相交于第一、二象限，且被雙曲線的兩條漸進線截得的線段長為$\sqrt{3}a$，則該雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 由題意，過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點向圓x²+y²=a²作一條切線，斜率為$\frac{a}$，與漸近線y=-$\frac{a}$x垂直，利用被雙曲線的兩條漸進線截得的線段長為$\sqrt{3}a$，可得兩條漸近線的夾角為60°，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點
向圓x²+y²=a²作一條切線，斜率為$\frac{a}$，與漸近線y=-$\frac{a}$x垂直，
∵被雙曲線的兩條漸進線截得的線段長為$\sqrt{3}a$，
∴兩條漸近線的夾角為60°，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，∴c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為2．

點評 本題考查直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．