Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f（x）=2sin（π-x）cosx=sin2x，得出f（x）在[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]遞增，（k∈Z），
（Ⅱ）由-

π

6

≤x≤

π

2

⇒-

π

3

≤2x≤π，從而-

3

2

≤sinx≤1，進而求出f（x）在[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）cosx=sin2x，
∴f′（x）=2cos2x，
令f′（x）≥0，解得：kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，
∴f（x）在[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]遞增，（k∈Z），
（Ⅱ）由-

π

6

≤x≤

π

2

⇒-

π

3

≤2x≤π，
∴-

3

2

≤sinx≤1，
∴f（x）在[-

π

6

，

π

2

]上的最大值為1，最小值為-

3

2

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的性質，函數(shù)的最值問題，考查函數(shù)的單調性，是一道基礎題．