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已知函數f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（
π
3
）=
1
2
+
3
2
．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值時x的集合；
（3）寫出函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區(qū)間．
考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法
專題：三角函數的求值
分析：（1）由f（0）=2求得a=1，再由f（
π
3
）=
1
2
+
3
2
，求得b的值．
（2）由條件利用三角恒等變換求得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，由此可得函數f（x）取得最大值．
（3）令
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ(k∈Z)，求得x的范圍，可得函數的減區(qū)間為[kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8
]，k∈z，從而得到函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區(qū)間．
解答： 解：（1）由f（0）=2得，2a=2，∴a=1．再由f（
π
3
）=
1
2
+
3
2
，可得b=2．
（2）f（x）=2acos2x+bsinxcosx=1+cos2x+sin2x=
2
sin（2x+
π
4
）+1，
故當2x+
π
4
=2kπ+
π
2
，k∈z時，函數f（x）取得最大值為
2
+1．
（3）令
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ(k∈Z)，求得 kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8
，k∈z，
可得函數的減區(qū)間為[kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8
]，k∈z，
故函數f（x）在[0，π]上的單調遞減區(qū)間為[
π
8
，
5π
8
]．
點評：本題主要考查三角恒等變換，三角函數的周期性與求法，正弦函數的增區(qū)間，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線C：y=
-x2-2x
與直線l：x+y-m=0有兩個交點，則m的取值范圍是（　　）
A、（-
2
-1，
2
）
B、（-2，
2
-1）
C、[0，
2
-1）
D、（0，
2
-1）

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科目：高中數學 來源： 題型：

函數f（x）=
3x， x∈(-∞，-1)
log2x， x∈[1，+∞)
的值域為（　�。�
A、（0，3）
B、[0，3]
C、（-∞，3]
D、[0，+∞）

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科目：高中數學 來源： 題型：

點P（x，y）滿足x2+y2-2x-2y-2≤0，點P到直線3x+4y-22=0的最大距離是（　　）
A、5
B、1
C、
2
-1
D、
2
+1

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2（k＞0）交C于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線C于點N．
（Ⅰ）若k=2，求N點的坐標；
（Ⅱ）是否存在以AB為直徑的圓經過點N，若存在，求出圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊為a，b，c，
m
=（2cos
C
2
，-sinC），
n
=（cos
C
2
，2sinC）且
m
⊥
n
．
（1）求∠C；
（2）若a2=b2+
1
2
c2，試求sin（A-B）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知遞增等差數列{an}前3項的和為-3，前3項的積為8，
（1）求等差數列{an}的通項公式；
（2）設bn=
7+an
3×2n
，求數列{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，
π
2
]時，求函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
2
]上的最大值和最小值．

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