Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜a₂，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＜

n(a1+an)

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：設(shè)公比為q，由題意知q＞1．①當(dāng)n=3時(shí)，由q＞1，得不等式S_n＜

n(a1+an)

2

成立；②假設(shè)n=k時(shí)，S_k＜

k(a1+ak)

2

．則n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1＜＜

(k+1)(a1+ak+1)

2

．由數(shù)學(xué)歸納法知，當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＜

n(a1+an)

2

．

解答： 解：設(shè)公比為q，∵等比數(shù)列{a_n}中，0＜a₁＜a₂，∴q＞1．
①當(dāng)n=3時(shí)，∵q＞1，∴2q＜q²+1，2a₂＜a₁+a₃，
不等式S_n＜

n(a1+an)

2

成立
②假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即S_k＜

k(a1+ak)

2

．
則n=k+1時(shí)，S_k+1=S_k+a_k+1＜

k(a1+ak)

2

+a_k+1
=

(k+1)(a1+ak+1)

2

+a_k+1-

a1+ak+k(ak+1-ak)

2

=

(k+1)(a1+ak+1)

2

+ak+1+

(1-k)ak+1+kak-a1

2

∵（1-k）a_k+1+ka_k-a₁
=a₁（kq^k-1-（k-1）q^k-1）＜0，
∴S_k+1＜

(k+1)(a1+ak+1)

2

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由數(shù)學(xué)歸納法知，當(dāng)n≥3時(shí)，S_n＜

n(a1+an)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．