Question

16．等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，{c_n}為等比數(shù)列，c₁=1，且c₂S₂=64，c₃S₃=960．
（1）求a_n與c_n；
（2）求$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由a₁=3，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．可得q（6+d）=64，q²（9+3d）=960，解得d，q．即可得出．
（2）由（1）可得：S_n=n（n+2）．可得$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出答案．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{c_n}的公比為q，則d為正整數(shù)，a_n=3+（n-1）d，c_n=q^n-1，
依題意有$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{2}{S}_{2}=（6+d）q=64}\\{{c}_{3}{S}_{3}=（9+3d）{q}^{2}=960}\end{array}\right.$，①
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=8}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{6}{5}}\\{q=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，（舍去）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，c_n=8^n-1，
數(shù)列a_n=2n+1，c_n=8^n-1；
（2）S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$，
∴$\frac{1}{S1}$+$\frac{1}{S2}$+…+$\frac{1}{Sn}$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．