Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n+3．
（Ⅰ）試寫出數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）設(shè)b_n=log₂（a_n+1），記數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接由數(shù)列遞推式結(jié)合數(shù)列首項(xiàng)求得數(shù)列的前3項(xiàng)；
（Ⅱ）直接利用等比數(shù)列的定義結(jié)合數(shù)列遞推式證明{a_n+1}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅲ）把數(shù)列{a_n+1}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₂（a_n+1），然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，并求得T_n的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=3，a_n+1=4a_n+3，
∴a₁=3，a₂=15，a₃=63；
（Ⅱ）∵

an+1+1

an+1

=

4an+3+1

an+1

=4，
∴數(shù)列{a_n+1}是公比為4的等比數(shù)列．
∴an+1=(a1+1)•4n-1=4n，
∴an=4n-1；
（Ⅲ）∵b_n=log₂（a_n+1）=log24n=2n，
∴

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)，
∵Tn=

1

4

(1-

1

n+1

)是關(guān)于n（n∈N^*）的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴n=1時(shí)，(Tn)min=

1

8

；n→+∞時(shí)，T_n→

1

4

．
∴T_n的取值范圍是[

1

8

，

1

4

)．

點(diǎn)評：本題考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．