Question

6．（1）已知二項(xiàng)式（x+2）ⁿ展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為252，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）記（x+2）ⁿ展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為a_n，求證：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
（3）給定不小于3的正整數(shù)n，試寫出數(shù)列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由${∁}_{9}^{4}={∁}_{9}^{5}$=126，${∁}_{10}^{5}$=252，${∁}_{11}^{5}={∁}_{11}^{6}$=462，利用第（2）、（3）題的結(jié)論可知：n=10，設(shè)（x+2）¹⁰展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T_r+1=${∁}_{10}^{r}$x^10-r2^r．（r=0，1，2，…，10），則$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r+1}•{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）若n為奇數(shù)，則n+1為偶數(shù)，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，利用組合數(shù)的性質(zhì)可得a_n+1＞a_n．若n為偶數(shù)，則n+1為奇數(shù)，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}+1}$，同理可得：a_n+1＞a_n，即可證明數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
（3）數(shù)列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）離首末兩端等距離的項(xiàng)相等，且距離越遠(yuǎn)值越大．作差如下：${∁}_{n}^{k+1}-{∁}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k）．即可得出：當(dāng)k＜$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${∁}_{n}^{k}$＜${∁}_{n}^{k+1}$；當(dāng)k＞$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${∁}_{n}^{k}$＞${∁}_{n}^{k+1}$，其中k=0，1，2，…，n-1．

解答 解：（1）∵${∁}_{9}^{4}={∁}_{9}^{5}$=126，${∁}_{10}^{5}$=252，${∁}_{11}^{5}={∁}_{11}^{6}$=462，
由第（2）、（3）題的結(jié)論可知：n=10，
設(shè)（x+2）¹⁰展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T_r+1=${∁}_{10}^{r}$x^10-r2^r．（r=0，1，2，…，10），
則$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r+1}•{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，（其中r=1，2，…，9），即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10！•{2}^{r}}{r!•（10-r）!}≥\frac{10!•{2}^{r-1}}{（r-1）!（11-r）!}}\\{\frac{10!•{2}^{r}}{r!（10-r）!}≥\frac{10!•{2}^{r+1}}{（r+1）!•（9-r）!}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{r≤\frac{22}{3}}\\{r≥\frac{19}{3}}\end{array}\right.$，（r=1，2，…，9），∴r=7，
展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是T₈=${∁}_{10}^{7}•{2}^{7}×{x}^{3}$=15360x³．
（2）若n為奇數(shù)，則n+1為偶數(shù)，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，
∴a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$+${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$＞a_n．
若n為偶數(shù)，則n+1為奇數(shù)，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}+1}$，
∴a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$+${∁}_{n}^{\frac{n}{2}-1}$＞a_n，
綜上可知：數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
（3）數(shù)列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）離首末兩端等距離的項(xiàng)相等，且距離越遠(yuǎn)值越大．
證明如下：${∁}_{n}^{k+1}-{∁}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k）．
當(dāng)k＜$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${∁}_{n}^{k}$＜${∁}_{n}^{k+1}$；當(dāng)k＞$\frac{n-1}{2}$時(shí)，${∁}_{n}^{k}$＞${∁}_{n}^{k+1}$，其中k=0，1，2，…，n-1．
若n為奇數(shù)，${∁}_{n}^{0}$＜${∁}_{n}^{1}$＜${∁}_{n}^{2}$＜…＜${∁}_{n}^{\frac{n-3}{2}}$＜${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$＞${∁}_{n}^{\frac{n+3}{2}}$＞…＞${∁}_{n}^{n-1}$＞${∁}_{n}^{n}$，
若n為偶數(shù)，${∁}_{n}^{0}$＜${∁}_{n}^{1}$＜${∁}_{n}^{2}$＜…＜${∁}_{n}^{\frac{n-2}{2}}$＜${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$，${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞${∁}_{n}^{\frac{n+2}{2}}$＞…＞${∁}_{n}^{n-1}$＞${∁}_{n}^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其展開式的系數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．