Question

16．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{1}{2}$，圓x²+y²=$\frac{12}{7}$與直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1相切，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（-4，0）任作一直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一定直一上運(yùn)動(dòng)？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$，求得3a²=4b²，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知：$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+4），代入橢圓，求得${x_1}+{x_2}=\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，由向量的坐標(biāo)表示．$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，求得$λ=-\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}$．，$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，代入即可求得R的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$，
∴3a²=4b²，
由點(diǎn)到直線的距離公式可知：$\frac{丨ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
解得：$a=2，b=\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）直線MN的斜率必存在，設(shè)其直線方程為y=k（x+4），
并設(shè)M（x₁，y₁），M（x₂，y₂），聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（x+4）\end{array}\right.$，
消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k-12=0，則△=144（1-4k²）＞0，
由韋達(dá)定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$
由$\overrightarrow{MQ}=λ\overrightarrow{QN}$，得-4-x₁=λ（x₂+4），故$λ=-\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}$．
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則由$\overrightarrow{MR}=-λ•\overrightarrow{RN}$，得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），
解得：${x_0}=\frac{{{x_1}-λ{(lán)x_2}}}{1-λ}=\frac{{{x_1}+\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}•{x_2}}}{{1+\frac{{{x_1}+4}}{{{x_2}+4}}}}=\frac{{2{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}）+8}}$
又$2{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）=2×\frac{{64{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}+4×\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{-24}{{3+4{k^2}}}$，
$（{x_1}+{x_2}）+8=\frac{{-32{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+8=\frac{24}{{3+4{k^2}}}$，從而${x_0}=\frac{{2{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）}}{{（{x_1}+{x_2}）+8}}=-1$，
故點(diǎn)R在定直線x=-1上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．