Question

18．已知x，y滿足曲線C：x²+y²-4x+3=0．
（1）求3x+4y的取值范圍；
（2）求$\frac{y}{x}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用參數(shù)法，即可求3x+4y的取值范圍；
（2）圓即 （x-2）²+y²=1，而$\frac{y}{x}$表示圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率，顯然，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線和圓相切時(shí)，斜率$\frac{y}{x}$取得最值．

解答 解：（1）x²+y²-4x+3=0 即（x-2）²+y²=1，
設(shè)x=2+cosα，y=sinα，則
3x+4y=6+3cosα+4sinα=6+5sin（α+θ），
∴1≤3x+4y≤11；
（2）（x-2）²+y²=1表示以A（2，0）為圓心，半徑等于1的圓．
而$\frac{y}{x}$表示圓上的點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)O連線的斜率，
如圖所示：ON OM為圓的兩條切線，
顯然，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線和圓相切時(shí)，斜率$\frac{y}{x}$取得最值．
由于OA=2AN=2AM，故有∠NOA=∠MOA=30°，
故ON的斜率等于tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，為最大值，OM的斜率等于tan（-30°）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，為最小值，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{y}{x}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的斜率公式，直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．