Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2，x∈[0，3]．
（1）當a=1，求f（x）在定義域[0，3]上的最值；
（2）當a∈R時，求f（x）在定義域[0，3]上的最小值；
（3）若a∈R，求f（x）在定義域[0，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值；
（2），（3）先求f（x）的對稱軸為x=a，討論a和區(qū)間[0，3]的關系，對于每種情況根據(jù)二次函數(shù)f（x）在[0，3]上的單調性，或取到頂點值，或比較端點值，這樣即可得出每種情況下的函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）a=1時：f（x）=（x-1）²+1，
對稱軸x=1，函數(shù)f（x）在[0，1）遞減，在（1，3]遞增，
∴f（x）_最小值=f（1）=1，f（x）_最大值=f（3）=5；
（2）f（x）的對稱軸為x=a；
①若a≤0，則f（x）在[0，3]上單調遞增；
∴f（x）的最小值為f（0）=2；
②若0＜a＜3，則f（a）=-a²+3是f（x）的最小值；
③若a≥3，則f（x）在[0，3]上單調遞減，
∴f（x）的最小值為f（3）=12-6a；
（3）f（x）的對稱軸為x=a；
①若a≤0，則f（x）在[0，3]上單調遞增；
∴f（x）的最大值為f（3）=12-6a；
②0＜a≤$\frac{3}{2}$時，f（3）=12-6a為f（x）的最大值；
③$\frac{3}{2}$＜x＜3時，f（0）=2f（x）的最大值；
④若a≥3，則f（x）在[0，3]上單調遞減；
∴f（x）的最大值為f（0）=2．

點評 考查二次函數(shù)的對稱軸的求解公式，二次函數(shù)的單調性，以及根據(jù)單調性求函數(shù)的最大值、最小值，根據(jù)取得頂點的情況或比較端點值來求二次函數(shù)最值的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．