Question

17．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為單位向量，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的投影為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． -$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 對式子|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|兩邊平方求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，從而可得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|和$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，代入投影公式計算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=2（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²，
即2+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{3}$．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2+\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{4}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的投影為$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，模長計算，屬于中檔題．