Question

已知數(shù)列{ }、{ }滿足：.

（1）求

（2）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列和{ }的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，求實(shí)數(shù)為何值時(shí) 恒成立.

 

Answer 1

（1）；（2）證明見解析，，；（3）≤1.

【解析】

試題分析：（1）遞推依次求得；（2）可得，化簡(jiǎn)可證為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出和{ }的通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)法可求，則代入 ，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，利用一元二次函數(shù)知識(shí)可得≤1.

解：（1） ∵， ∴； 4分

（2）∵，

∴，，

∴ ， ∴ 數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列， 6分

∴， ， ∴ ； 8分

（3） ， ∴，

∴， 10分

由條件可知恒成立即可滿足條件，

設(shè)，

當(dāng)＝1時(shí)，恒成立,

當(dāng) >1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立,

當(dāng)<l時(shí)，對(duì)稱軸 , 13分

f(n)在為單調(diào)遞減函數(shù), ,

∴ ∴<1時(shí)恒成立,

綜上知：≤1時(shí)，恒成立. 14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義，裂項(xiàng)法求和，不等式恒成立.