【題目】已知點在橢圓上,為坐標(biāo)原點,直線的斜率與直線的斜率乘積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)不經(jīng)過點的直線)與橢圓交于兩點,關(guān)于原點的對稱點為(與點不重合),直線軸分別交于兩點,,求證:.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)橢圓的中點弦所在直線的斜率的性質(zhì),得到,得到再結(jié)合橢圓所過的點的坐標(biāo)滿足橢圓方程,聯(lián)立方程組,求得進(jìn)而求得橢圓的方程;

(Ⅱ)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元,利用韋達(dá)定理得到兩根和與兩根積,將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線,的斜率互為相反數(shù),列式,可證.

(Ⅰ)由題意,,

聯(lián)立①①解得

所以,橢圓的方程為.

(Ⅱ)設(shè),,,,

,

所以,

又因為,所以,

,,

解法一:要證明可轉(zhuǎn)化為證明直線,的斜率互為相反數(shù)只需證明,即證明.

,∴.

解法二:要證明,可轉(zhuǎn)化為證明直線軸交點、連線中點的縱坐標(biāo)為,垂直平分即可.

直線的方程分別為

,

分別令,

,同解法一,可得

,垂直平分.

所以,.

練習(xí)冊系列答案
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由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為( )

A. B. C. D.

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A.的極大值點

B.函數(shù)有且只有1個零點

C.存在正實數(shù),使得成立

D.對任意兩個正實數(shù),,且,若,則.

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