已知數(shù)列{xn}滿足x1=4，．
（Ⅰ）求證：xn＞3；
（Ⅱ）求證：xn+1＜xn；
（Ⅲ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式．
【答案】分析：（Ⅰ）結(jié)合題設(shè)條件，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（Ⅱ）．由xn＞3，知xn+1＜xn．
（Ⅲ），，由題題條件能導(dǎo)出an=2n-1．由，得．從而得到．
解答：解：
（Ⅰ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí)，x1=4＞3．所以結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（n≥1）時(shí)結(jié)論成立，即xn＞3，則．
所以xn+1＞3．
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知對(duì)任意的正整數(shù)n，都有xn＞3．（4分）
（Ⅱ）證明：．
因?yàn)閤n＞3，所以，即xn+1-xn＜0．
所以xn+1＜xn．（9分）
（Ⅲ）解：，，
所以．
又，
所以．（11分）
又，
令，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
所以an=2n-1．
由，得．
所以．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的證明過程．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

10、已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a，x2=b，Sn=x1+x2+…+xn，則下面正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{xn}滿足x2=
1
2
x1，xn=
1
2
（xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
lim
n→∞
xn=2，則x1=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

數(shù)列{an}中，如果存在非零常數(shù)T，使得an+T=an對(duì)于任意的非零自然數(shù)n均成立，那么就稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．已知數(shù)列{xn}滿足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{xn}的周期為3時(shí)，求該數(shù)列前2009項(xiàng)和是
1339+a
1339+a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
，n∈N*．
（1）計(jì)算x2，x3，x4的值；
（2）試比較xn與2的大小關(guān)系；
（3）設(shè)an=|xn-2|，Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn≤2-
2
2n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{xn}滿足：x1∈(0，1)，xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*）．
（1）證明：對(duì)任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
（2）對(duì)于n∈N*，判斷xn與xn+1的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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