Question

【題目】設(shè)f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．
（1）確定a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+ ，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a= ．

（2）

解：由（1）得f（x）= （x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+ = ，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

當(dāng)0＜x＜2或x＞3時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數(shù)，

當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數(shù)，

故f（x）在x=2時(shí)取得極大值f（2）= +6ln2，在x=3時(shí)取得極小值f（3）=2+6ln3

【解析】（1）先由所給函數(shù)的表達(dá)式，求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸相交于點(diǎn)（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，把函數(shù)的定義域分段，判斷導(dǎo)函數(shù)在各段內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求出極值點(diǎn)，把極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得函數(shù)的極值．