Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+acosφ}\\{y=asinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=bcosφ}\\{y=b+bsinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤$\frac{π}{2}$）與C₁交于O、A兩點(diǎn)，與C₂交于O、B兩點(diǎn)．當(dāng)α=0時(shí)，|OA|=1；當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時(shí)，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|²+|OA|•|OB|的最大值．

Answer 1

分析 （I）由曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+acosφ}\\{y=asinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），利用cos²φ+sin²φ=1即可化為普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得出極坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出a的值．同理可得b的值．
（II）由（I）可得C₁，C₂的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|²+|OA|•|OB|=2cos²θ+2sinθcosθ=$\sqrt{2}$$sin（2θ+\frac{π}{4}）$+1，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=a+acosφ}\\{y=asinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），
化為普通方程為（x-a）²+y²=a²，展開為：x²+y²-2ax=0，
其極坐標(biāo)方程為ρ²=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當(dāng)θ=0時(shí)，|OA|=ρ=1，∴a=$\frac{1}{2}$．
曲線C₂：$\left\{{\begin{array}{l}{x=bcosφ}\\{y=b+bsinφ}\end{array}}$（φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0），
化為普通方程為x²+（y-b）²=b²，展開可得極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ，
由題意可得當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C₁，C₂的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|²+|OA|•|OB|=2cos²θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=$\sqrt{2}$$sin（2θ+\frac{π}{4}）$+1，
∵2θ+$\frac{π}{4}$∈$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}]$，∴$\sqrt{2}$$sin（2θ+\frac{π}{4}）$+1的最大值為$\sqrt{2}$+1，
當(dāng)2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，θ=$\frac{π}{8}$時(shí)取到最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．