Question

已知函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1．
（1）求證：函數(shù)f（x）-g（x）必有零點(diǎn)
（2）若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在整數(shù)a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數(shù)f（x）-g（x）的零點(diǎn)，判斷對(duì)應(yīng)方程的△與0的關(guān)系，易得結(jié)論．
（2）由函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1，若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，根據(jù)對(duì)折變換函數(shù)圖象的特征，我們分△≤0和△＞0兩種情況進(jìn)行討論，可得到滿足條件的m的取值范圍；
（3）若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，則

G(a)=a G(b)=b a≤ 4(2-m)+(m-2)2 4 ≤b

，將a，b代入消去m，可以求出a，b的值．

解答： 證明：（1）f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m．
令f（x）-g（x）=0．
則△=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函數(shù)f（x）-g（x）必有零點(diǎn)．
解：（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m．
令G（x）=0，△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
當(dāng)△≤0，即2≤m≤6時(shí)，G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x²-（m-2）x+m-2．
因?yàn)閨G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，所以

m-2

2

≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
當(dāng)△＞0，即m＜2或m＞6時(shí)，|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-2|．
因?yàn)閨G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，
所以方程x²-（m-2）x+m-2=0的兩根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=

m-2

2

≤-1．
所以

m-2＞0 m-2 2 ＞0

或

m-2＜0 m-2 2 ≤-1

，解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．
（3）因?yàn)閍≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以

G(a)=a G(b)=b

，
由

-a2+(m-2)a+2-m=a -b2+(m-2)b+2-m=b

消去m，得ab-2a-b=0，顯然b≠2．
所以a=

b

b-2

=1+

2

b-2

．     
因?yàn)閍，b均為整數(shù)，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得

a=3 b=3

或

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

或

a=0 b=0

，
因?yàn)閍＜b，且a≤

4(2-m)+(m-2)2

4

≤b
所以

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)圖象的對(duì)折變換，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，（1）中解答的關(guān)鍵是“三個(gè)二次”之間的辯證關(guān)系，即函數(shù)有零點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的方程有根；（2）的切入點(diǎn)是函數(shù)圖象對(duì)折變換后的函數(shù)圖象特征；（3）中消參思想是解答的關(guān)鍵．