Question

福布斯2009年中國富豪榜發(fā)布后，有人認為中國富豪受益于活躍的股票市場，得益于強勁的資本市場．股票有風險應考慮中長期投資，若某股票上市時間能持續(xù)15年，預測上市初期和后期會因供求及市場前景分析使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期有將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價格隨發(fā)行年數(shù)x的模擬函數(shù)：（A）f（x）=p-q^x；（B）f（x）=log_qx+p；（C）f（x）=（x-1）（x-q）²+p（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞2）．
（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(shù)？為什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6 ①求出所選函數(shù)f（x）的解析式；②一般散戶為保證個人的收益，通�？紤]打算在價格下跌期間出股票，請問他們會在哪幾個年份出售？

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）判斷A，B是單調函數(shù)；C有兩個零點，可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間，即可得出結論；
（2）求出p=4，q=4，可得函數(shù)解析式，求導數(shù)，即可得出結論．

解答： 解：（1）因為f（x）=p-q^x是單調函數(shù)；f（x）=log_qx+p也是單調函數(shù)；
在f（x）=（x-1）（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-（4q+2）x+q²+2q
令f′（x）=0，可得x=q或x=

q+2

3

，
所以函數(shù)f（x）有兩個零點，可以出現(xiàn)兩個遞增區(qū)間和一個遞減區(qū)間，
所以因選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其價格模擬函數(shù)．…（6分）
（2）由f（1）=4，f（3）=6，可得p=4，q=4（其中q=2舍去），
所以f（x）=x³-9x²+24x-12（1≤x≤15，x∈N₊），
所以f′（x）=3x²-18x+24＜0，
所以f（x）在區(qū)間（2，4）上單調遞減．
故他們會在發(fā)行的第2，3年出售．…（13分）

點評：本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．