Question

【題目】如圖，橢圓，軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長.

（1）求實(shí)數(shù)b的值；

（2）設(shè)C2與軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C1交于點(diǎn)D、E.

①證明：；

②記△MAB，△MDE的面積分別是若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.

【解析】

試題（1）由題意直接求得；（2）①由題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得，從而，即，故；②設(shè)的方程為分別與拋物線的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出,得到的表達(dá)式，然后把表示成關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而求出的取值范圍.

試題解析：（1）由題意知：半長軸為，則有，所以.

（2）①由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.

由得， 設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是.又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以

故，即，故.

②設(shè)的斜率為，則的方程為，由解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為,又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.于是

由得，

解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；

又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo),

于是

因此，又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，，平方后代入上式，所以， 故的取值范圍為.