【題目】已知函數(shù),對任意的,滿足,其中為常數(shù).
(Ⅰ)若,求在處的切線方程;
(Ⅱ)已知,求證;
(Ⅲ)當(dāng)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)代入,然后求出函數(shù)在處的切線方程
(Ⅱ)寫出的表達(dá)式,令,根據(jù)的取值范圍,得到的單調(diào)性,即可得證
(Ⅲ)對求導(dǎo),討論在不同的的取值范圍下的單調(diào)性,進(jìn)而討論其零點(diǎn)的個(gè)數(shù),即可求出存在三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)的取值范圍。
(Ⅰ)在中,取,得,
又,所以.
從而,
,,
又切點(diǎn)為,所以切線方程為.
(Ⅱ)證明:
令,
則
所以,時(shí),,單調(diào)遞減,
故時(shí),
所以時(shí),
(Ⅲ)
①當(dāng)時(shí),在(0,+∞)上,,遞增,
所以,至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;
②當(dāng)時(shí),在(0,+∞)上,,遞減,
所以,也至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;
③當(dāng)時(shí),令,
解得
此時(shí),在上遞減,上遞增,上遞減,
所以,至多有三個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)?/span>在上遞增,所以.
又因?yàn)?/span>,所以,使得
又,
所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn):.
綜上所述,當(dāng)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知六棱錐P﹣ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=AB,則下列結(jié)論正確的是_____.(填序號)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④sin∠PDA.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地海軍航空實(shí)驗(yàn)班面向全省遴選學(xué)員,有名初中畢業(yè)生踴躍報(bào)名投身國防,經(jīng)過文化考試、體格測試、政治考核、心理選拔等過程篩選,最終招收名學(xué)員。培養(yǎng)學(xué)校在關(guān)注學(xué)員的文化素養(yǎng)同時(shí)注重學(xué)員的身體素質(zhì),要求每月至少參加一次野營拉練活動(dòng)(下面簡稱“活動(dòng)”)并記錄成績.月某次活動(dòng)中海航班學(xué)員成績統(tǒng)計(jì)如圖所示:
(1)根據(jù)圖表,試估算學(xué)員在活動(dòng)中取得成績的中位數(shù)(精確到);
(2)根據(jù)成績從、兩組學(xué)員中任意選出兩人為一組,若選出成績分差大于,則稱該組為“幫扶組”,試求選出兩人為“幫扶組”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓,軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長.
(1)求實(shí)數(shù)b的值;
(2)設(shè)C2與軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA、MB分別與C1交于點(diǎn)D、E.
①證明:;
②記△MAB,△MDE的面積分別是若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無信號的概率是 _________ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】男運(yùn)動(dòng)員6名,女運(yùn)動(dòng)員4名,其中男女隊(duì)長各1名.選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?
(1)男運(yùn)動(dòng)員3名,女運(yùn)動(dòng)員2名;
(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員;
(3)隊(duì)長中至少有1人參加;
(4)既要有隊(duì)長,又要有女運(yùn)動(dòng)員.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:
記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元), 表示購機(jī)的同時(shí)購買的易損零件數(shù).
(Ⅰ)若=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值;
(Ⅲ)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是一個(gè)類似計(jì)步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶只需以運(yùn)動(dòng)手環(huán)或手機(jī)協(xié)處理器的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)為介,然后關(guān)注該公眾號,就能看見自己與好友每日行走的步數(shù),并在同一排行榜上得以體現(xiàn).現(xiàn)隨機(jī)選取朋友圈中的50人,記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下:
步數(shù)/步 | 10000以上 | ||||
男生人數(shù)/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人數(shù)/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
規(guī)定:人一天行走的步數(shù)超過8000步時(shí)被系統(tǒng)評定為“積極性”,否則為“懈怠性”.
(1)以這50人這一天行走的步數(shù)的頻率代替1人一天行走的步數(shù)發(fā)生的概率,記表示隨機(jī)抽取3人中被系統(tǒng)評為“積極性”的人數(shù),求和的數(shù)學(xué)期望.
(2)為調(diào)查評定系統(tǒng)的合理性,擬從這50人中先抽取10人(男性6人,女性4人).其中男性中被系統(tǒng)評定為“積極性”的有4人,“懈怠性”的有2人,從中任意選取3人,記選到“積極性”的人數(shù)為;
其中女性中被系統(tǒng)評定為“積極性”和“懈怠性”的各有2人,從中任意選取2人,記選到“積極性”的人數(shù)為;求的概率.
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