Question

19．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，且f（1）=0，則不等式f（log₄x）+f（log$\frac{1}{4}$x）≥0的解集為[$\frac{1}{4}$，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關系將不等式進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，且f（1）=0，
∴不等式f（log₄x）+f（log$\frac{1}{4}$x）≥0等價為不等式f（log₄x）+f（-log₄x）≥0
即2f（log₄x）≥0，則f（|log₄x|）≥f（1），
即|log₄x|≤1，即-1≤log₄x≤1，
則-$\frac{1}{4}$≤x≤4，
即不等式的解集為[$\frac{1}{4}$，4]，
故答案為：[$\frac{1}{4}$，4]．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．