Question

6．以下四個關于圓錐曲線的命題中
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，$|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|=k$，則動點P的軌跡為橢圓；
②設定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，則動點P的軌跡為圓；
③方程ln²x-lnx-2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1$與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦點．
其中真命題的序號為②③（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 根據題意，依次分析4個命題，對于①、由橢圓的定義分析可得①錯誤；對于②、分析可得P是AB中點，結合垂徑定理分析可得②正確；對于③、求出方程ln²x-lnx-2=0的兩根，分析可得兩根的大小可得③正確；對于④、分析橢圓、雙曲線的焦點位置即可得④不正確，綜合即可得答案．

解答 解：根據題意，依次分析4個命題：
對于①、若動點P的軌跡為橢圓則需滿足k＞|AB|，故①錯誤；
對于②、若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，則P是AB中點，即∠CPA=90°，所以P的軌跡是以CA為直徑的圓，故②正確；
對于③、方程ln²x-lnx-2=0的兩根分別為x=e²或$\frac{1}{e}$，而$\frac{1}{e}＜1，{e^2}＞1$，故③正確；
對于④、雙曲線焦點在y軸上，橢圓的焦點在x軸上；故④不正確
故答案為：②③．

點評 本題考查常見圓錐曲線的定義以及簡單性質，關鍵是熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的地定義．