【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）以為直徑的圓過定點(diǎn).

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的頂點(diǎn)公式求解即可.

(2) 設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達(dá)定理,并根據(jù)直線與圓相切得出的關(guān)系式,代入證明即可.

（1）因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即.

因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),

所以,所以.所以橢圓的方程為.

（2）因?yàn)橹本�的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.

由消去,得,

所以設(shè),則.

所以.

所以.①

因?yàn)橹本�和圓相切,所以圓心到直線的距離,

整理,得,②

將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)

綜上可知,以為直徑的圓過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上一點(diǎn)A（2，﹣1）到兩焦點(diǎn)距離之和為8.若點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓C上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若BP⊥BQ，且滿足32的點(diǎn)D在y軸上，求直線BP的方程；

（3）若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù)λ（λ＜0），試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某縣一中學(xué)的同學(xué)為了解本縣成年人的交通安全意識(shí)情況，利用假期進(jìn)行了一次全縣成年人安全知識(shí)抽樣調(diào)查.已知該縣成年人中的擁有駕駛證，先根據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了100名成年人，然后對(duì)這100人進(jìn)行問卷調(diào)查，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如下圖所示.規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的為“安全意識(shí)優(yōu)秀”.

擁有駕駛證

沒有駕駛證

合計(jì)

得分優(yōu)秀

得分不優(yōu)秀

25

合計(jì)

100

（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并判斷能否有超過的把握認(rèn)為“安全意識(shí)優(yōu)秀與是否擁有駕駛證”有關(guān)？

（2）若規(guī)定參加調(diào)查的100人中分?jǐn)?shù)在70以上（含70）的為“安全意識(shí)優(yōu)良”，從參加調(diào)查的100人中根據(jù)安全意識(shí)是否優(yōu)良，按分層抽樣的方法抽出5人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，試求抽取的3人中恰有一人為“安全意識(shí)優(yōu)良”的概率.

附表及公式：，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某次數(shù)學(xué)考試中，抽查了1000名學(xué)生的成績(jī)，得到頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.

（1）下表是這次抽查成績(jī)的頻數(shù)分布表，試求正整數(shù)、的值；

區(qū)間

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

[95，100]

人數(shù)

50

a

350

300

b

（2）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績(jī)進(jìn)行分析，求抽取成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；

（3）在根據(jù)（2）抽取的40名學(xué)生中，要隨機(jī)選取2名學(xué)生參加座談會(huì)，記其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望（即均值）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x0，y0)在曲線y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．記直線APn的斜率為kn．

（1）若k1＝2，求P1的坐標(biāo)；

（2）若k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)與有相同的極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），求的值；

（2）記.

①若在區(qū)間（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍；

②若函數(shù)圖象存在兩條經(jīng)過原點(diǎn)的切線，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線l過點(diǎn)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出直線的參數(shù)方程（為常數(shù)）和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求傾斜角的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則.例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對(duì)二十四節(jié)氣的晷(guǐ)影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其它節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則使按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的，下表為《周髀算經(jīng)》對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中寸表示115寸分（1寸分），已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為（ ）

節(jié)氣

冬至

小寒（大雪）

大寒（小雪）

立春（立冬）

雨水（霜降）

驚蟄（寒露）

晷影（寸）

135

節(jié)氣

春分（秋分）

清明（白露）

谷雨（處暑）

立夏（立秋）

小滿（大暑）

芒種（小暑）

夏至

晷影（寸）

75.5

16.0

A.72.4寸B.81.4寸C.82.0寸D.91.6寸

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，直線與曲線相切，設(shè)的最大值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）

A.存在，

B.為等差數(shù)列

C.對(duì)于，

D.

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