Question

已知函數(shù)f（x）=

kx+k(a-1)， x≥0 1 3 x3- 1 2 ax2+(a-1)x-a2+2a-2， x＜0

其中a∈R，若對任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，則k的最大值為（　�。�

• A、-1
• B、-2
• C、-4
• D、-3

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意求導(dǎo)f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），從而確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得k=

-a2+2a-2

a-1

=-（a-1+

1

a-1

）≤-2，從而解得．

解答： 解：由題意，當(dāng)x＜0時(shí)，
f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），
則由題意知函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
故-a+1≤0，故a≥1；
而由-a²+2a-2=k（a-1）知，
當(dāng)a=1時(shí)不成立，
故a＞1，
則k=

-a2+2a-2

a-1

=-（a-1+

1

a-1

）≤-2
（當(dāng)且僅當(dāng)a-1=

1

a-1

，即a=2時(shí)，等號成立）；
故k的最大值為-2；
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．