Question

4．在△ABC中，a，b，c分別是△ABC的角A，B，C的對邊，且b=2，a=1，sin$\frac{C}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
（1）求c；
（2）求sinA的值．

Answer 1

分析 （1）由sin$\frac{C}{2}$的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cosC的值，再由a，b，利用余弦定理求出c的值即可；
（2）由a，sinC，c的值，利用正弦定理求出sinA的值即可．

解答 解：（1）∵sin$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∵a=1，b=2，cosC=$\frac{3}{4}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=1+4-2×1×2×$\frac{3}{4}$=1+4-3=2，
則c=$\sqrt{2}$；
（2）∵c=$\sqrt{2}$，a=1，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$得：sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．