Question

17．設x₁、x₂、x₃、x₄為自然數1、2、3、4的一個全排列，且滿足|x₁-1|+|x₂-2|+|x₃-3|+|x₄-4|=6，則這樣的排列有9個．

Answer 1

分析 利用和值為6，分解為4個非負數的和，最大值為3，最小值為0，列出所有情況即可．

解答 解：x₁、x₂、x₃、x₄為自然數1、2、3、4的一個全排列，且滿足|x₁-1|+|x₂-2|+|x₃-3|+|x₄-4|=6，
可得4個數的和為6，共有，0+0+3+3=6；1+1+1+3=6；0+1+2+3=6；1+1+2+2=6；
所有x₁、x₂、x₃、x₄分別為：
0+0+3+3=6；類型有：
4，2，3，1；
1+1+1+3=6；類型有：
2，3，4，1；
4，1，2，3；
0+1+2+3=6；類型有：
4，1，3，2；
4，2，1，3；
3，2，4，1；
2，4，3，1；
1+1+2+2=6；類型有：
2，4，1，3；
3，1，4，2；
共9種．
故答案為：9．

點評 本題考查排列組合的實際應用，考查計數原理的應用，難度比較大．