Question

8．已知曲線C₁：y=e^x上一點A（x₁，y₁），曲線C₂：y=1+ln（x-a）（a＞0）上一點B（x₂，y₂），當y₁=y₂時，對任意的x₁，x₂，都有|AB|≥e，則a的最小值為e-1．

Answer 1

分析 當y₁=y₂時，對于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，可得：${e}^{{x}_{1}}$=1+ln（x₂-a），x₂-x₁≥e，一方面0＜1+ln（x₂-m）≤${e}^{{x}_{2}-e}$，x₂＞a+$\frac{1}{e}$．利用lnx≤x-1（x≥1），考慮x₂-m≥1時．可得1+ln（x₂-m）≤x₂-m，令x₂-m≤${e}^{{x}_{2}-e}$，可得m≥x-e^x-e，利用導數(shù)求其最大值即可得出．

解答 解：當y₁=y₂時，對于任意x₁，x₂，都有|AB|≥e恒成立，可得：${e}^{{x}_{1}}$=1+ln（x₂-a），x₂-x₁≥e，
∴0＜1+ln（x₂-a）≤${e}^{{x}_{2}-e}$，∴x₂＞a+$\frac{1}{e}$
∵lnx≤x-1（x≥1），考慮x₂-a≥1時．
∴1+ln（x₂-a）≤x₂-a，
令x₂-a≤${e}^{{x}_{2}-e}$，
化為a≥x-e^x-e，x＞a+$\frac{1}{e}$．
令f（x）=x-e^x-e，則f′（x）=1-e^x-e，可得x=e時，f（x）取得最大值．
∴a≥e-1．
∴a的最小值為e-1．
故答案為e-1．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、方程的解法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．