Question

6．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，若${a_2}=1，{a_5}=\frac{1}{8}$，則${a_1}{a_2}+{a_2}{a_3}+…+{a_n}{a_{n+1}}（{n∈{N^*}}）$的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{2}{3}，2}]$
• B． $[{1，\frac{8}{3}}）$
• C． $[{2，\frac{8}{3}}）$
• D． $（{-∞，\frac{8}{3}}）$

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．

解答 解：由已知得數(shù)列{a_n}的公比滿足q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，解得q=$\frac{1}{2}$，
∴a₁=2，a₃=$\frac{1}{2}$，
故數(shù)列{a_na_n+1}是以2為首項，公比為$\frac{{a}_{2}{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{2[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{3}$$[1-（\frac{1}{4}）^{n}]$∈$[2，\frac{8}{3}）$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．